Hollosi Information eXchange /HIX/
HIX TUDOMANY 3729
Copyright Myths
2008-12-11
Új cikk beküldése (a cikk tartalma az író felelõssége)
Megrendelés Lemondás
1 Re: matek (mind)  13 sor     (cikkei)
2 Re: *** HIX TUDOMANY *** #3728 (mind)  20 sor     (cikkei)
3 re: matek (mind)  25 sor     (cikkei)
4 Re: matek (mind)  80 sor     (cikkei)

+ - Re: matek (mind) VÁLASZ  Feladó: (cikkei)
Udv mindenkinek,

Zoli, a szummat folbontod: Sum(x^2+40*x).

Az elso tag az elso n szam negyzeteinek osszege, es egyenlo
n*(n+1)(2n+1)/6

A masodik 40*Sum(x), ami egyenlo 40*(n+1)*n/2 = 20*n*(n+1)

A tobbi ugy tunik hogy rendben van.

udv
Gergely
+ - Re: *** HIX TUDOMANY *** #3728 (mind) VÁLASZ  Feladó: (cikkei)
Quoting HIX TUDOMANY >:

> 
> Van egy rekurzív képletem, miszerint
> 
> a[n+1] = a[n] + 300 + n*(n+40)
> 
> Ebb?l kéne valami nem rekurzívat csiholni.
> Odáig eljutottam, hogy
> 
> a[n+1] = a[0] + (n+1)*300 + SUM(x*(x+40))
> 
> ahol x 0-tól n-ig helyettesítend?, viszont ezzel a szummával nem tudok 
> mit
> kezdeni. Tud adni vki valamilyen tanácsot?
x négyzet sorösszege benn van a függvénytáblában, vagy kiintegrálható, 
az 
x
sorosszege 0-n -ig n*n/2. 
János
+ - re: matek (mind) VÁLASZ  Feladó: (cikkei)
Szia Zoli!

> Van egy rekurzív képletem, miszerint
>
> a[n+1] = a[n] + 300 + n*(n+40)
>
> Ebb?l kéne valami nem rekurzívat csiholni.
> Odáig eljutottam, hogy
>
> a[n+1] = a[0] + (n+1)*300 + SUM(x*(x+40))

Ha felbontod a zárójelet, akkor két tagot kapsz

SUM (x*x) + 40*SUM x

A második egy egyszerû számtani sor, amire a sorösszeg n-ig:

40 * (n+1)/2*n

A másik szumma (matekkönyvbõl):

n*(n+1)*(2n+1)/6

Üdv:
Jocó
+ - Re: matek (mind) VÁLASZ  Feladó: (cikkei)
Zoli írja (HIX TUDOMANY 3728 2008-12-10):
> Van egy rekurzív képletem, miszerint
> 
> a[n+1] = a[n] + 300 + n*(n+40)
> 
> Ebbõl kéne valami nem rekurzívat csiholni.
> Odáig eljutottam, hogy
> 
> a[n+1] = a[0] + (n+1)*300 + SUM(x*(x+40))
> 
> ahol x 0-tól n-ig helyettesítendõ, viszont ezzel a szummával
> nem tudok mit kezdeni. Tud adni vki valamilyen tanácsot?

Elõszöris, a képleted már nem is rekurzív, hisz csak a[0]-tól
és n-tõl függ, a[n]-tõl nem. Persze lehet tovább alakítgatni.

Erre van egy megoldásom. Nézzünk pár elemet, elõször
rekurzióval: 
Ha a[0]=0
a[1]=0+300+1*(1+40)=341
a[2]=a[1]+300+2*(2+40)=341+300+2*(2+40)=725
a[3]=a[2]+300+3*(3+40)=725+300+3*(3+40)=1154 
a[4]=a[3]+300+4*(4+40)=1154+300+4*(4+40)=1630
a[5]=a[4]+300+5*(5+40)=1630+300+5*(5+40)=2155
a[6]=a[5]+300+6*(6+40)=2155+300+6*(6+40)=2731
...
Rekurzió nélkül, tetszõleges n-re (n>0) zárt képlet:
(1) a[n]=a[0]+n*341+43*(n-1)*n/2+((n-2)^3+3*(n-2)^2+2*(n-2))/3
ezzel (a[0]=0 esetben):
a[1]=0+1*341+43*(1-1)*1/2+((1-2)^3+3*(1-2)^2+2*(1-2))/3=341
a[2]=0+2*341+43*(2-1)*2/2+((2-2)^3+3*(2-2)^2+2*(2-2))/3=725
a[3]=0+3*341+43*(3-1)*3/2+((3-2)^3+3*(3-2)^2+2*(3-2))/3=1154
a[4]=0+4*341+43*(4-1)*4/2+((4-2)^3+3*(4-2)^2+2*(4-2))/3=1630
a[5]=0+5*341+43*(5-1)*5/2+((5-2)^3+3*(5-2)^2+2*(5-2))/3=2155
a[6]=0+6*341+43*(6-1)*6/2+((6-2)^3+3*(6-2)^2+2*(6-2))/3=2731
...
azaz legalábbis az elsõ pár elemre megegyezik a rekurzióval.
Hogy jutottam a képletre? Elõszöris, létezhet egyszerûbb alakja
is, a lényeg a módszer. Próbálkozzunk, nézegessük:

a[1]-a[0]=341
a[2]-a[1]=725-341=384
a[3]-a[2]=1154-725=429
a[4]-a[3]=1630-1154=476
a[5]-a[4]=2155-1630=525
a[6]-a[5]=2731-2155=576
...
Nézzük tovább sorban e különbségeket:
384-341=43
429-384=45
476-429=47
525-476=49
576-525=51
...
Megfigyelhetõ, hogy a különbségek különbsége 2-vel nõ minden
lépésben. 
384-341=43,
429-384=45=43+2,
476-429=47=43+2+2,
525-476=49=43+2+2+2,
576-525=51=43+2+2+2+2,
... s.í.t.
Azaz minden lépésben 2-vel nagyobbat adunk hozá, mint az
elõzõben. Már csak valahogy összegezni kell.
Így viszont nem-rekurzívvá, azaz csak n-tõl függõvé tehetjük.
Az n-edig tagra (azaz a[n]):
Az elsõ elemhez (ami nincs meghatározva) minden lépésben
hozzáadunk 341-et, épp n-szer, eddig könnyû. Majd 43-akat; ha
fölírunk pár elemet, számokkal, akkor ,,látszik'', hogy ez
egyszerûen az elsõ n-1 szám összege (43-al szorozva). Erre a
nagy Gauss óta van zárt képlet: N*(N+1)/2. A legnehezebb a
2-esek kezelése, ahhoz ugyanis látni kell, hogy a 2-eseket
egyrészt úgy összeadogathatjuk, mint a 43-akat, de sajnos ez
nem elég, mert még az összeadogatásokat is összeadogatjuk. 
Erre viszont ismét csak van zárt képlet:
(1/6)*(m^3+3*m^2+2*m). 
Az eredmény, némi bûvészkedés után (remélem, hogy) az (1)
alatti képlet. 

Üdvözlettel     Gaál Tamás (Fr.o.)

AGYKONTROLL ALLAT AUTO AZSIA BUDAPEST CODER DOSZ FELVIDEK FILM FILOZOFIA FORUM GURU HANG HIPHOP HIRDETES HIRMONDO HIXDVD HUDOM HUNGARY JATEK KEP KONYHA KONYV KORNYESZ KUKKER KULTURA LINUX MAGELLAN MAHAL MOBIL MOKA MOZAIK NARANCS NARANCS1 NY NYELV OTTHON OTTHONKA PARA RANDI REJTVENY SCM SPORT SZABAD SZALON TANC TIPP TUDOMANY UK UTAZAS UTLEVEL VITA WEBMESTER WINDOWS